＜完全楕円積分＞
complete elliptic Integral of the first  kind 
第一種完全楕円積分
定義
K
(k)=
ó
ô
õ
p
2

0
1
Ö1-k
2
 sin
2
 q
 dq(1)
k:複素数   ただしk¹1
数百桁精度 
K
(k)=
ó
ô
õ
1

0
1
Ö(1-t
2
 )(1-k
2
 t
2
 )
 dt
K
(0.3791)=1.632308317430878027448210634444575199146224110096029
057221874028327882747833003558256955258433656025
K
(Ö2.5+i)=1.15514506065693 + 0.952845371467053i
K
(0)=1.5707963267949
K
(1)=∞
complete elliptic Integral of the second  kind 
第二種完全楕円積分
定義
k:  複素数
数百桁精度
E
(k)=
ó
õ
π/2

0
Ö1-k
2
 sin
2
 qdq
E
(k)=
ó
ô
õ
1

0
Ö1-k
2
 t
2
Ö1-t
2
dt
E
(0)=1.5707963267949
E
(0.5)=1.467462209339427155459795266990916136025361752327231960
500790636490824227271290635654038530733504602
E
(1)=1
E
(Ö3+2.5i)=1.19974884333427 - 1.35709743760095i
complete elliptic Integral of the third  kind 
第三種完全楕円積分
定義
P(n,k)=
ó
ô
õ
π/2

0
1
(1-nsin
2
 q)Ö1-k
2
 sin
2
 q
 dq
n,k:複素数
ただし　n,k≠1
数百桁精度
P(n,k)=
ó
ô
õ
1

0
1
1-nt
2
1
Ö(1-t
2
 )(1-k
2
 t
2
 )
 dt
Π
(0.8,0.9)=5.98207408136457
Π
(0.8,1)=∞
Π
(1,0.9)=∞
Π
(0.4,0.6+2i)=1.21173770101995 + 0.191364800453331i
Π
(0.8+0.5i,0.9)=2.49425441175117 + 2.18227756380894i
Π
(0.8+0.5i,0.9)=2.4942544117511747105522896591064314520301894913213
 + 2.1822775638089445151863868582002698918277881413858i
Π
(0.4,Ö0.6)=2.59092115655522
Π
(-2,1.27201964951407 - 0.786151377757423i)
=0.784049226661343 - 0.258414516193648i
Π
(0.4,1)=∞
k=0.1