楕円積分の応用
楕円の弧長を求めてみます。
右図のPからQまでの弧長です。
L=
ó
õ
ds=
ó
õ
Ö
d
x
2
+d
y
2
=
ó
õ
Ö
1+
d
y
d
x
2
d
x
=
ó
õ
Ö
1+
c
x
Ö
1-
x
2
2
d
x
=
ó
õ
Ö
1-
x
2
+c
2
x
2
1-
x
2
d
x
離心率
k
=
Ö
1-c
2
とすれば
L=
ó
õ
Ö
1-
k
2
x
2
1-
x
2
d
x
注
κ=0 この時は真円になります。
これはカルキングの第二種上完全楕円積分に一致しています。
E
(
x ; k
)
=
ó
ô
õ
x
0
Ö
1-k
2
t
2
Ö
(1-t
2
)
dt
したがって
L=
E
(
x ;
k
)
計算例
x=0.3
κ=0.5
L=
E
(
x ;
k
)
=0.30353176542728
