極座標変換への微分応用
obj0001.png
地球の運動方程式を解くときには、x-y座標よりも
極座標系の方が、微分方程式を解くときに便利です。
この計算は通常、手計算で行いますが結構複雑です。
ここでは、カルキングの記号計算を使って、
r方向、θ方向の加速度成分を求めてみます。
ただし一部は手計算が必要になりますが、全て
手計算するよりもはるかに便利です。
記号計算機能だけでなく、カルキングの数式置換機能も利用します。
応用上の基本は、
dr
dt
 ,
dθ
dt
 ,
d
2
 r
dt
2
,
d
2
 θ
dt
2
に代わりにr
(1)
 ,
θ
(1)
 ,
r
(2)
 ,
θ
(2)
 を利用することです。右肩の(1),(2)は文字修飾です。
通例、右肩の(1),(2)は微分階数を表しますので、この類推からこの吊前にしました。
x=rcosq
y=rsinq
仮想関数定義する
r(t)=Æ
q(t)=Æ
手入力
カルキングでの記号計算
pfrm0001.png
v
x
 =
dx
dt
 =
d
dt
 (rcosq)=-r
dq
dt
 sinq+
dr
dt
 cosq
v
y
 =
dy
dt
 =
d
dt
 (rsinq)=r
dq
dt
 cosq+
dr
dt
 sinq
したがって
v
x
 =-r
dq
dt
 sinq+
dr
dt
 cosq(1)
v
y
 =r
dq
dt
 cosq+
dr
dt
 sinq(2)
(1),(2)に対して置換表を適用すると以下のようになる
pfrm0002.png
仮想関数定義
q
(1)
 (t)=Æ
r
(1)
 (t)=Æ
代数代入定義
v
x
 =-r
q
(1)
 sinq
+r
(1)
 cosq(3)
v
y
 =r
q
(1)
 cosq
+r
(1)
 sinq(4)
v
r
 ,
v
q
 を以下のように定義する
v
r
=v
x
 cosq
+v
y
 sinq
v
q
=-v
x
 sinq
+v
y
 cosq
代数計算
因数分解
手計算
↓
↓
↓
v
r
 =
v
x
 cosq
+v
y
 sinq=
r
(1)
 cos
2
 q
+r
(1)
 sin
2
 q
=r
(1)
 (cos
2
 q+sin
2
 q)
=r
(1)
v
q
 =
-v
x
 sinq
+v
y
 cosq=r
q
(1)
 cos
2
 q+r
q
(1)
 sin
2
 q=
q
(1)
 r(cos
2
 q+sin
2
 q)=
q
(1)
 r
したがって
pfrm0003.png
a
r
 ,
a
θ
 を以下のように定義する
pfrm0004.png
(3),(4)から
代数計算
↓
dv
x
dt
 =
dr
(1)
dt
 cosq-
dq
dt
r
(1)
 sinq+-r
d
q
(1)
dt
 sinq+-r
dq
dt
 cosq-
dr
dt
 sinq
q
(1)
上記の式に、
dθ
ｄｔ
 ,
dr
ｄｔ
 ,
d
r
1
dt
 ,
dθ
1
dt
 の置換をすると以下の式になる
dv
x
dt
 =(
r
(2)
 cosq-
q
(1)
r
(1)
 sinq)+(-r
q
(2)
 sinq+(-r
q
(1)
 cosq
-r
(1)
 sinq)
q
(1)
 )
右辺を代数計算する
(
r
(2)
 cosq-
q
(1)
r
(1)
 sinq)+(-r
q
(2)
 sinq+(-r
q
(1)
 cosq
-r
(1)
 sinq)
q
(1)
 )
=-r(
q
(1)
 )
2
 cosq
+r
(2)
 cosq-r
q
(2)
 sinq
-2r
(1)
q
(1)
 sinq
他方
search_table
dq
dt
q
(1)
dr
dt
r
(1)
dr
(1)
dt
r
(2)
d
q
(1)
dt
q
(2)
a
x
 =
d
v
x
dt
したがって
pfrm0005.png
同様に
d
v
y
dt
 =r
d
q
(1)
dt
 cosq+
dr
dt
 cosq-
dq
dt
 rsinq
q
(1)
 +
r
(1)
dq
dt
 cosq+
dr
(1)
dt
 sinq
上記の式に、
dθ
ｄｔ
 ,
dr
ｄｔ
 ,
d
r
1
dt
 ,
dθ
1
dt
 の置換を施すと以下の式になる。
d
v
y
dt
 =(r
q
(2)
 cosq+(
r
(1)
 cosq-
q
(1)
 rsinq)
q
(1)
 )+(
r
(1)
q
(1)
 cosq
+r
(2)
 sinq)
右辺を代数計算する
(r
q
(2)
 cosq+(
r
(1)
 cosq-
q
(1)
 rsinq)
q
(1)
 )+(
r
(1)
q
(1)
 cosq
+r
(2)
 sinq)
=r
q
(2)
 cosq
+2r
(1)
q
(1)
 cosq-r(
q
(1)
 )
2
 sinq
+r
(2)
 sinq
pfrm0006.png
さらに仮想関数定義を行う
r
(2)
 (t)=Æ
q
(2)
 (t)=Æ
以下の2式を代数代入定義する
a
x
 =-r(
q
(1)
 )
2
 cosq
+r
(2)
 cosq-r
q
(2)
 sinq
-2r
(1)
q
(1)
 sinq
a
y
 =r
q
(2)
 cosq
+2r
(1)
q
(1)
 cosq-r(
q
(1)
 )
2
 sinq
+r
(2)
 sinq
他方以下の2式より
a
r
=a
x
 cosq
+a
y
 sinq
a
q
=-a
x
 sinq
+a
y
 cosq
a
r
 =
a
x
 cosq
+a
y
 sinq=-r(
q
(1)
 )
2
 cos
2
 q
+r
(2)
 cos
2
 q-r(
q
(1)
 )
2
 sin
2
 q
+r
(2)
 sin
2
 q
右辺の式を代数計算して簡素化する。
-r(
q
(1)
 )
2
 cos
2
 q
+r
(2)
 cos
2
 q-r(
q
(1)
 )
2
 sin
2
 q
+r
(2)
 sin
2
 q
=r
(2)
 cos
2
 q
+r
(2)
 sin
2
 q-r(
q
(1)
 )
2
 cos
2
 q-r(
q
(1)
 )
2
 sin
2
 q
=r
(2)
 -r(
q
(1)
 )
2
 =
d
2
 r
dt
2
-r
dq
dt
2
手計算で式の順序を変更する
手計算で式の順序を変更する
同様に
a
q
 =
-a
x
 sinq
+a
y
 cosq=r
q
(2)
 cos
2
 q
+2r
(1)
q
(1)
 cos
2
 q+r
q
(2)
 sin
2
 q
+2r
(1)
q
(1)
 sin
2
 q
=r
q
(2)
 cos
2
 q+r
q
(2)
 sin
2
 q
+2r
(1)
q
(1)
 cos
2
 q
+2r
(1)
q
(1)
 sin
2
 q
=r
q
(2)
+2r
(1)
q
(1)
 =r
d
2
 q
dt
2
+2
dr
dt
dq
dt
 =
1
r
d
dt
 r
2
dq
dt
したがって
pfrm0007.png