3角形の頂点の座標を指定して、3角形に内接する円を求める。 

それらの座標をP

1

(x

1

,y

1

), P

2

(x

2

,y

2

), P

3

(x

3

,y

3

)とする。

2点(x

p

,y

p

), (x

q

,y

q

)を通る直線の式は次式で与えられる。

(y

p

-y

q

)x+(x

q

-x

p

)y+(x

p

y

q

-x

q

y

p

)=0

a

1

x

0

+b

1

y

0

+c

1

=0

P

1

とP

2

を結ぶ直線を

a

2

x

0

+b

2

y

0

+c

2

=0

P

2

とP

3

を結ぶ直線を

とすると，

a

3

x

0

+b

3

y

0

+c

3

=0

P

3

とP

1

を結ぶ直線を

a

1

=y

1

-y

2

b

1

=x

2

-x

1

c

1

=x

1

y

2

-x

2

y

1

a

2

=y

2

-y

3

b

2

=x

3

-x

2

c

2

=x

2

y

3

-x

3

y

2

a

3

=y

3

-y

1

b

3

=x

1

-x

3

c

3

=x

3

y

1

-x

1

y

3

点(x

0

, y

0

)から直線ax+by+c=0への距離をhとすれば、

h=

|ax 0 +by 0 +c|

Öa 2 +b 2

(x-x

0

)

2

+(y-y

0

)

2

=r

2

それゆえ、直線ax+by+c=0に接する円の方程式を

とすれば，

(ax

0

+by

0

+c)

2

=(a

2

+b

2

)r

2

求める円は３つの直線に接するので、

(a

1

x

0

+b

1

y

0

+c

1

)

2

=(a

1

2

+b

1

2

)r

2

(a

2

x

0

+b

2

y

0

+c

2

)

2

=(a

2

2

+b

2

2

)r

2

(a

3

x

0

+b

3

y

0

+c

3

)

2

=(a

3

2

+b

3

2

)r

2

ここで

r>0

x

1

=0

y

1

=0

x

2

=5

y

2

=2

として、解を求めよう。

x

3

=1

y

3

=4

まず、直線式の係数に値を代入する。

a

1

=y

1

-y

2

b

1

=x

2

-x

1

c

1

=x

1

y

2

-x

2

y

1

a

2

=y

2

-y

3

b

2

=x

3

-x

2

c

2

=x

2

y

3

-x

3

y

2

a

3

=y

3

-y

1

b

3

=x

1

-x

3

c

3

=x

3

y

1

-x

1

y

3

次に、上の３つの接円の式とrの条件式を選択して、連立多項式を実行する。
そうすると、次の解を得る。

r = 3.574169848

x

0

 = 5.162827373

y

0

 = 5.914629685

r = 1.287516217

x

0

 = 1.859795227

y

0

 = 2.130615495

r = 5.607342525

x

0

 = 4.744547995

y

0

 = -4.141473527

r = 3.139063041

x

0

 = -2.656059484

y

0

 = 2.318450569

４組の解がある。これらの識別のため，次のように表記する。

r

1

 = 3.574169848

r

2

 = 1.287516217

x

01

 = 5.162827373

x

02

 = 1.859795227

y

01

 = 5.914629685

y

02

 = 2.130615495

r

3

 = 5.607342525

r

4

 = 3.139063041

x

03

 = 4.744547995

x

04

 = -2.656059484

y

03

 = -4.141473527

y

04

 = 2.318450569

これらの内、半径の最も小さい第2の解が、内接円に対応する。
他の３つは外接円に対応する。

【備考】

連立多項式の実行において、円の中心が3角形の内部にあるという条件を付加する
ことによって、解を内接円に限定してもよい。

(a

1

x

0

+b

1

y

0

+c

1

)

2

=(a

1

2

+b

1

2

)r

2

(a

2

x

0

+b

2

y

0

+c

2

)

2

=(a

2

2

+b

2

2

)r

2

(a

3

x

0

+b

3

y

0

+c

3

)

2

=(a

3

2

+b

3

2

)r

2

r>0

中心点が3角形の
内部にある条件

x 0	y 0	1
x 3	y 3	1
x 1	y 1	1

>0

x 0	y 0	1
x 1	y 1	1
x 2	y 2	1

>0

x 0	y 0	1
x 2	y 2	1
x 3	y 3	1

>0

上記の式を選択して、連立多項式を実行すると、

r = 1.287516217

x

0

 = 1.859795227

y

0

 = 2.130615495

まず次式によって、3直線のグラフを書く。

y=-(a

2

x+c

2

)/b

2

y=-(a

3

x+c

3

)/b

3

y=-(a

1

x+c

1

)/b

1

次に、次式によって、円を書く。

x(t)=r

1

cost+x

01

x(t)=r

2

cost+x

02

x(t)=r

3

cost+x

03

x(t)=r

4

cost+x

04

y(t)=r

1

sint+y

01

y(t)=r

2

sint+y

02

y(t)=r

3

sint+y

03

y(t)=r

4

sint+y

04

下の図は、こうして得られたグラフである。

角∠P

3

P

1

P

2

の2等分線と角∠P

3

P

2

P

1

の
2等分線の交点Qは内接円の中心である。

角∠P

3

P

1

P

2

の
2等分線の式

y=tanθ

1

×(x-x

1

)+y

1

(1)

θ

1

=

1

2

(tan

-1

y 3 -y 1

x 3 -x 1

)+(tan

-1

y 2 -y 1

x 2 -x 1

)

角∠P

3

P

2

P

1

の
2等分線の式

y=tanθ

2

×(x-x

2

)+y

2

(2)

θ

2

=

1

2

(tan

-1

y 1 -y 2

x 1 -x 2

)+(tan

-1

y 3 -y 2

x 3 -x 2

)

さらに

x

1

=0

y

1

=0

(3)

y

2

=2

x

2

=5

(1), (2), (3)を選択して，連立多項式を実行する。

連立多項式のダイアログでは、変数をx,yに指定する。

式(3)は次の理由で含めている。

式(1)と式(2)において、x, x

1

, x

2

が変数xのグループに属し、

x, x

1

, x

2

が変数xのグループに属する。
それで、変数をx,yに指定すると、実質的な変数の個数は６つになる。
そこで、式(3)を追加して、方程式の個数を６つにしている。

こうして、次の解を得る。

x = 1.85979521725506

x

1

 = 0

x

2

 = 5

y = 2.13061549525983

y

1

 = 0

y

2

 = 2

xおよびyの値を、それぞれx

0

,y

0

に代入する。

x

0

 = 1.85979521725505

y

0

 = 2.13061549525983

そして

a=

y 3 -y 1

x 3 -x 1

c=-

y 3 -y 1

x 3 -x 1

×x

1

+y

1

b=-1

とすると、半径rは次式で与えられる。

r=

|ax 0 +by 0 +c|

Öa 2 +b 2

rの計算値は

r=1.28751622097121