楕円積分の応用２
ベルヌーイのレムニスケートの周長
陰関数グラフ
極座標
r
2
=cos2
q
(1)
x-y座標系
この式の陰関数グラフが
右のグラフになります。
(x
2
+y
2
)
2
=x
2
-y
2
ベルヌーイのレムニスケートの周長
ó
õ
Ö
dr
2
+(rd
q
)
2
=
ó
õ
Ö
1+r
2
d
q
dr
2
dr
(2)
θ を ｒ の関数とみなし、両辺を θ で微分する。
r
2
=cos2
q
このために
関数定義
θ
(
r
)
=
Æ
2r=-2sin2
q
d
q
dr
両辺を二乗して共通式を削除すると、下記の式が得られる。
したがって
r
4
=sin
2
2
q
r
2
d
q
dr
2
r
2
d
q
dr
2
=
r
4
sin
2
2
q
(１)式の両辺を二乗する
したがって
r
4
=cos
2
2
q
r
4
=1-sin
2
2
q
sin
2
2
q
=1-r
4
(2)式は以下のように変形できる。
ó
õ
Ö
1+r
2
d
q
dr
2
dr=
ó
õ
Ö
1+
r
4
sin
2
2
q
dr=
ó
õ
Ö
1+
r
4
1-r
4
dr
よって
ó
õ
Ö
1+r
2
d
q
dr
2
dr=
ó
õ
Ö
1+
r
4
1-r
4
dr=
ó
õ
1
Ö
1-r
4
dr
レムニスケートの周長
L=
ó
õ
1
Ö
1-r
4
dr
第一種楕円関数の 別の定義
K
(
k
)
=
ó
ô
õ
1
0
1
Ö
(1-t
2
)(1-k
2
t
2
)
dt
したがって
L=2
K
(
i
)
=2.6220575542921
