太陽系の惑星運動の方程式
質量Mの周りを、質量ｍの物体が、万有引力の法則のもとで回転する運動方程式
pfrm0001.png
この運動方程式は、x-y座標系よりも
極座標系が便利です。
「極座標変換への微分応用《を参考にしてください。
このファイルの最後の式から、以下の微分方程式が
出てきます。
pfrm0002.png
pfrm0003.png
pfrm0004.png
pfrm0005.png
pfrm0006.png
pfrm0007.png
pfrm0008.png
(6)、(7)を解くためにｒの代わりに逆数の u を導入する
新しい従属変数 u を導入
r=
1
u
 (5)
これにより(7)式から(8)式が得られる
dq
dt
 =2hu
2
 (8)
(５)式の両辺をｔで微分する（手計算）
dr
dt
 =-
1
u
2
du
dq
dq
dt
dr
dt
 =-2h
du
dq
 (9)
pfrm0009.png
(9)式の両辺をｔで微分する（手計算）
(8)式より
d
2
 r
dt
2
=-2h
d
2
 u
dq
2
dq
dt
d
2
 r
dt
2
=-2h
d
2
 u
dq
2
(2hu
2
 )=-4h
2
 u
2
d
2
 u
dq
2
pfrm0010.png
d
2
 r
dt
2
=-4h
2
 2u
2
d
2
 u
dq
2
(10)
pfrm0011.png
pfrm0012.png
pfrm0013.png
pfrm0014.png
pfrm0015.png
この種の微分方程式の解は以下の式になる
u=acos(q+a)+
GM
4h
2
uからrに戻すと
r=
1
acos(q+a)+
GM
4h
2
r=
l
1+ecos(q-a)
l=
4h
GM
e=Ö1+
4ah
2
(GM)
2
0<e<1
の時は楕円になる
長径短径が a , b の時の楕円の面積はπab である。
h は面積速度である。
したがって周期 T は以下の式で求められる。
T=
πab
h
a=
1
2
l
1+e
 +
l
1-e
l=a(1-e
2
 )
b=aÖ1-e
2
4h
2
 =GMl=GMa(1-e
2
 )
T
2
 =
πab
h
2
 =
4π
2
 a
2
GM
 =
4π
2
 a
2
GM
この式から太陽の質量を計算できる。
M=
4π
2
 a
3
GT
2
地球公転の周期は
T=3.155815×10
7
 s
長軸の長さ
a=1.4959787×10
11
 m
重力定数
G=6.67428×10
-11
 m
3
 s
-2
 kg
-1
したがって
太陽の質量　M
M=
4π
2
 a
3
GT
2
=1.98842×10
30
 kg
ちなみにWikipediaで調べた値
1.9891×10
30
 kg